Od roku 2025 egzamin maturalny w Formule 2023 jest przeprowadzany na
podstawie wymagań określonych w wymaganiach ogólnych i szczegółowych
podstawy programowej kształcenia ogólnego z 2024 r.
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych,
także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w
kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w
tekście, zarówno matematycznym jak i popularnonaukowym, a także
w formie wykresów, diagramów, tabel.
Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów
matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i
uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi,
interpretowanie pojęć matematycznych.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie
istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu
matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych
zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych
uwarunkowań.
Rozumowanie i argumentacja.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie
argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie
dowodu od przykładu.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii,
formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich
poprawności.
Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania
problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność
rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.
Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań,
również w sytuacjach nietypowych.
Treści nauczania – wymagania szczegółowe
I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
Zakres podstawowy. Uczeń:
wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie,
potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb
rzeczywistych;
przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i
reszt z dzielenia, nie trudniejsze niż:
(a) dowód podzielności przez $24$ iloczynu czterech kolejnych liczb
naturalnych;
(b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez $5$ daje resztę
$3$, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$;
stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków
stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na
potęgach i pierwiastkach;
stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli
$x < y$ oraz $a>1$, to $a^x<a^y$ , zaś gdy $x < y$ oraz
$0<a<1$, to $a^x>a^y$ ;
posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na
osi liczbowej;
stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości
bezwzględnej, rozwiązuje równania
typu: $\left|x + 4\right| = 5$
;
wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach
praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków
z lokat i kosztów kredytów;
stosuje związek logarytmowania z
potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm
ilorazu i logarytm potęgi;
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego,
a ponadto
1R. stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
Zakres podstawowy. Uczeń:
stosuje wzory skróconego mnożenia: $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2-b^2$
;
dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
1R. dzieli wielomian jednej zmiennej $W(x)$ przez dwumian postaci $x
− a$;
2R. rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego
czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
3R. znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach
całkowitych;
4R. stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące
własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
$\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{1}=n$, $\binom{n}{n-1}=n$,
$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$,
$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$;
5R. korzysta ze wzorów na: $a^3+b^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$,
$(a+b)^n$ i $(a-b)^n$.
6R. dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie
trudniejszych niż:
$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$,
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$,
$\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}$,.
III. Równania i nierówności.
Zakres podstawowy. Uczeń:
przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np.
przekształca równoważnie równanie $\frac{5}{𝑥 + 1}=\frac{𝑥 +
3}{2𝑥−1}$;
interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz
tożsamościowe;
rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W(x)=0$ dla wielomianów
doprowadzonych do postaci iloczynowej.
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
III. 1R. rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: $W(x)> 0$,
$W(x)\geq 0$, $W(x)<0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci
iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci
iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub
metodą grupowania;
III. 2R. rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się
sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
III. 3R. stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
III. 4R. rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;
III. 5R. analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz
równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności:
wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje
warunki, przy których rozwiązania mają określone znaki bądź należą
do określonego przedziału, wyznacza rozwiązania w zależności od
parametrów;
III. 6R. rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się
doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania
dwukwadratowe;
III. 7R. rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{𝑉(𝑥)}{𝑊(𝑥)}=0$,
gdzie wielomiany $𝑉(𝑥)$ i $𝑊(𝑥)$ są zapisane w postaci iloczynowej.
IV. Układy równań.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje
interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i
sprzecznych;
stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
IV. 1R. rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema
niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub
liniowego, a które nie są trudniejsze niż $\begin{cases} x^2 + y^2 +
ax + by = c \\ x^2 + y^2 + cx + dy = f \end{cases}$ .
V. Funkcje.
Zakres podstawowy. Uczeń:
określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu
słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych
przedziałach);
oblicza wartość w punkcie funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel,
wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego
samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca
zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja
przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe)
od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile
istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których
wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie
lub o jej własnościach;
szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w
postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej
funkcji lub o jej wykresie;
wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w
przedziale domkniętym;
wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji
zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w
kontekście praktycznym;
na podstawie wykresu funkcji $y=f(x)$ szkicuje wykresy funkcji
$y=f(x-a)$, $y=f(x)+b$;
posługuje się funkcją $f(x)=\frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu
i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie
proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich
wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z
zastosowaniami praktycznymi.
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
V. 1R. na podstawie wykresu funkcji $y=f(x)$ rysuje wykresy funkcji
$y=-f(x)$, $y=f(-x)$;
V. 2R. posługuje się złożeniami funkcji;
V. 3R. dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w
przykładzie: wykaż, że funkcja $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ jest
monotoniczna w przedziale $(-\infty , -2)$.
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub
geometryczny;
stosuje wzór na $n$-ty wyraz i na sumę $n$
początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
stosuje wzór na $n$-ty wyraz i na sumę $n$
początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
wykorzystuje własności ciągów, w tym
arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również
osadzonych w kontekście praktycznym.
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
VI. 1R. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu
$\frac{1}{n}$, $\sqrt[n]{a}$ oraz twierdzeń o granicach sumy,
różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o
trzech ciągach;
VI. 2R. rozpoznaje zbieżne szeregi
geometryczne i oblicza ich sumę.
VII. Trygonometria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
wykorzystuje definicje sinus, cosinus i tangens dla kątów od $0^\circ$
do $180^\circ$, w szczególności wyznacza wartości funkcji
trygonometrycznych dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$;
korzysta z wzorów $\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1$;
tg$\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$;
stosuje twierdzenia cosinusów oraz wzór na pole trójkąta
$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot \sin\gamma$;
oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy
odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z
wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
1R. stosuje miarę łukową, zamienia
stopnie na radiany i odwrotnie;
2R. posługuje się wykresami funkcji
trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
3R. wykorzystuje okresowość funkcji
trygonometrycznych;;
4R. stosuje wzory redukcyjne dla
funkcji trygonometrycznych;
5R.korzysta z wzorów na sinus,
cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje
trygonometryczne kątów podwojonych;
6R. rozwiązuje równania
trygonometryczne.
7R. stosuje twierdzenie sinusów.
8R. oblicza kąty trójkata i długości
boków przy odpoiwednich danych (rozwiązuje trójkąty).
VIII. Planimetria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz
odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy
danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie:
w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach,
równoległobokach, rombach i trapezach;
stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
stosuje twierdzenia Talesa;
korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur
podobnych;
wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu
wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie,
ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
przeprowadza dowody geometryczne.
stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w
figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
VIII.1R. stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych
na okręgu.
VIII.2R. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie
ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki
istnieje;
posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci
kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych
własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane
punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej,
styczność do okręgu);
oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
posługuje się równaniem okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$;
wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem
osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku
układu współrzędnych)
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
IX.
1R. znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;
IX.
2R. znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
IX.
3R. zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość,
dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania
wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.
IX.
4R. wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i
prostej stycznej do zadanego okręgu.
X. Stereometria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności
proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem
kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami
(np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między
ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między
odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między
tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów,
walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i
poznanych twierdzeń;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
X. 1R. zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do
płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
X. 2R. wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz
oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
XI. Kombinatoryka.
Zakres podstawowy. Uczeń:
zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
zlicza obiekty stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie)
dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
(a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb
całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje
dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
(b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych
dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie
jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1;
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
XI. 1R. oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone
kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także
łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
XI. 2R. stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego
własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
Zakres podstawowy. Uczeń:
oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i
dominantę;
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
XII. 1R. oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa,
stosuje praktycznie twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
XII. 2R. stosuje schemat Bernoulliego.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Zakres podstawowy. Uczeń:
Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się
opisać funkcją kwadratową.
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
XIII. 1R. oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
XIII. 2R. stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca
zerowego funkcji;
XIII. 3R. stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację
geometryczną i fizyczną pochodnej;
XIII. 4R. oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku
rzeczywistym oraz oblicza pochodną korzystając z twierdzeń o
pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
XIII. 5R. stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
XIII.6R. rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem
pochodnej.
Warunki i sposób realizacji
Korelacja.
Ze względu na użyteczność matematyki i jej zastosowania w szkolnym
nauczaniu fizyki, informatyki, geografii i chemii zaleca się
zrealizować treści nauczania określone w działach: I pkt 9 (logarytmy)
i w miarę możliwości V pkt 14, V pkt 1 (pojęcie funkcji) i V pkt 5
(funkcje liniowe) w pierwszym półroczu klasy pierwszej, zaś treści
nauczania określone w działach: V pkt 11 (funkcje kwadratowe) i V pkt
13 (proporcjonalność odwrotna) nie później niż do końca klasy
pierwszej. Treści nauczania określone w dziale VI pkt 2 (obliczanie
początkowych wyrazów ciągów określonych rekurencyjnie) można
realizować w korelacji z analogicznym zagadnieniem podstawy
programowej z informatyki.
Oznaczenia
Uczniowie powinni używać powszechnie przyjętego oznaczenia zbiorów
liczbowych, a w szczególności: dla liczb całkowitych symbolu
$\mathbb{Z} $, dla liczb wymiernych – $\mathbb{Q}$, dla liczb
rzeczywistych – $\mathbb{R}$. Oznaczanie liczb całkowitych literą $C$
może prowadzić do nieporozumień i należy go unikać.
Przedziały
Uczeń powinien wykorzystywać przedziały do opisu zbioru rozwiązań
nierówności. Warto podkreślić, że najważniejsza w odpowiedzi jest jej
poprawność. Na przykład rozwiązanie nierówności $ x^2-9x+20 > 0$
może być zapisane na każdy z poniższych sposobów:
rozwiązaniem nierówności może być każda liczba $𝑥$, która jest
mniejsza od 4 lub większa od $5$;
rozwiązaniami są wszystkie liczby 𝑥 mniejsze od $4$ i wszystkie
liczby $𝑥$ większe od $5$;
$x < 4 $ lub $x > 5$;
$ x\in (-\infty, 4) $ lub $ x\in (5, \infty) $;
$ x\in (-\infty, 4) \cup (5, \infty) $ .
Zastosowania logarytmów
Przy nauczaniu logarytmów warto podkreślić ich zastosowania w
wyjaśnianiu zjawisk przyrodniczych. W przyrodzie powszechne są
procesy, których przebieg opisuje funkcja logarytmiczna. Dzieje się
tak, gdy w pewnym przedziale czasowym dana wielkość zawsze rośnie (lub
maleje) ze stałą krotnością. Poniższe przykładowe zadania ilustrują
zastosowania logarytmu.
Z1.
Skala Richtera służy do określenia siły trzęsień ziemi. Siła ta
opisana jest wzorem $R=\log \frac{A}{A_0}$ , gdzie $A$ oznacza
amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, $A_0 = 10^{−4} cm$
jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w
Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile $6,2$ w skali
Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii.
Z2.
Chory przyjął dawkę $100$ mg leku. Masę tego leku pozostałą w
organizmie po czasie 𝑡 określa zależność $M(t)=a\cdot b^t$ . Po
pięciu godzinach organizm usuwa $30$% leku. Oblicz, ile leku
pozostanie w organizmie pacjenta po upływie doby.
Zastosowanie algebry. Warunkiem powodzenia procesu
nauczania matematyki jest sprawne posługiwanie się wyrażeniami
algebraicznymi. Metody algebraiczne często dają się stosować w
sytuacjach geometrycznych i na odwrót ilustracja geometryczna pozwala
lepiej zrozumieć zagadnienia algebraiczne.
Przekształcenia równoważne.
W trakcie rozwiązywania równań i nierówności należy zwracać uwagę, że
obok metody przekształceń równoważnych można stosować metodę
wnioskowania (metoda analizy starożytnych). Po wyznaczeniu
potencjalnego zbioru rozwiązań następuje sprawdzenie, które z
wyznaczonych wartości istotnie są rozwiązaniami. W wielu sytuacjach
nie warto domagać się przekształceń równoważnych, gdy metoda
wnioskowania prowadzi do szybkich rezultatów. Ponadto uczniowie
powinni wiedzieć, że uprawnioną metodą dowodzenia jest równoważne
przekształcanie tezy.
Postać kanoniczna.
Przy omawianiu funkcji kwadratowej należy podkreślać znaczenie postaci
kanonicznej i wynikających z tej postaci własności. Warto zwrócić
uwagę, że wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego oraz na
współrzędne wierzchołka paraboli, a także pojęcie i własności
wyróżnika są jedynie wnioskami z postaci kanonicznej. Wiele zagadnień
związanych z funkcją kwadratową daje się rozwiązać bezpośrednio z tej
postaci, bez mechanicznego stosowania wzorów. W szczególności postać
kanoniczna pozwala znajdować najmniejszą lub największą wartość
funkcji kwadratowej, a także oś symetrii jej wykresu.
Złożenia funkcji i funkcje odwrotne.
Definicja funkcji złożonej pojawia się dopiero w zakresie
rozszerzonym, ale już w zakresie podstawowym oczekuje się od ucznia
umiejętności operowania równocześnie danymi zaczerpniętymi z kilku
źródeł. Nie wymaga to jednak formalnego wprowadzenia operacji złożenia
czy odwracania funkcji.
Ciągi.
Zagadnienie to należy omawiać tak, by uczniowie zdali sobie sprawę, że
poza ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi istnieją też inne.
Podobnie należy podkreślić, że poza ciągami niemalejącymi, rosnącymi,
nierosnącymi, malejącymi i stałymi istnieją też takie, które nie są
monotoniczne. Warto zwrócić uwagę uczniów, że niektóre ciągi opisują
dynamikę procesów występujących w przyrodzie bądź społeczeństwie.
Przykładowo podany w dziale VI pkt 2 lit. a ciąg opisuje szybkość
rozprzestrzeniania się plotki (liczba $a_n$ podaje, ile osób o plotce
słyszało).
Granica ciągu
Przed sformułowaniem definicji granicy ciągu warto zadawać uczniom
pytania w rodzaju: czy istnieje taka liczba naturalna $k$, że dla
każdej liczby naturalnej $n$ większej od $k$ zachodzi nierówność
$\frac{1}{3} \lt \frac{n}{2n+1}\frac{2}{3}$? Twierdzenie o trzech
ciągach wspiera także budowanie intuicji granicy ciągu. Obliczanie
granic ciągów warto poprzedzić wykorzystaniem programów komputerowych
do rysowania wykresów ciągów. Dokładniejsze obliczenia ułatwią w
odpowiednio dobranych przykładach formułowanie hipotez na temat
istnienia wartości granicy ciągu.
Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne, oprócz
szerokich zastosowań w fizyce, służą do opisu związków miarowych w
figurach płaskich oraz bryłach (np. twierdzenie sinusów i twierdzenie
cosinusów). W wielu sytuacjach dla danego argumentu nie są potrzebne
dokładne wartości tych funkcji, tylko ich przybliżenia. Uczniowie
powinni umieć korzystać z tablic matematycznych jak i kalkulatora w
dwóch celach: wyznaczania przybliżonych wartości funkcji
trygonometrycznych danego kąta oraz określenia kąta, dla którego
funkcja trygonometryczna osiąga określoną wartość.
Planimetria.
Rozwiązywanie klasycznych problemów geometrycznych jest skutecznym
sposobem kształtowania świadomości matematycznej. Uczniowie, którzy
rozwiązują zadania konstrukcyjne, nabywają przez to wprawy w
rozwiązywaniu zadań geometrycznych różnego typu, na przykład uczeń z
łatwością przyswoi własności okręgów wpisanych w trójkąt czy
czworokąt, jeśli potrafi skonstruować te figury. Nauczanie konstrukcji
geometrycznych można przeprowadzać w sposób klasyczny, za pomocą
linijki i cyrkla, można też używać specjalistycznych programów
komputerowych, takich jak np. GeoGebra.
Dwumian Newtona
Ważne jest, żeby przy okazji nauczania wzoru na $(a+b)^n$ podkreślić
znaczenie współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) $\binom{n}{k}$
w kombinatoryce. Warto go również zapisywać w postaci
$\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot ...
\cdot(k-1)\cdot k}$, gdyż w tej formie jest bardziej widoczna jego
interpretacja i łatwiej go obliczyć dla małych $k$.
Rachunek prawdopodobieństwa Uczniowie w przyszłości będą
mieli do czynienia z zagadnieniami powiązanymi z losowością, które
występują w różnych dziedzinach życia i nauki, na przykład: przy
analizie sondaży, zagadnień z zakresu ekonomii i badaniach rynków
finansowych lub w naukach przyrodniczych i społecznych. Warto
wspomnieć o paradoksach rachunku prawdopodobieństwa, które pokazują
typowe błędy w rozumowaniu i omówić niektóre z nich. Warto też
przeprowadzać z uczniami eksperymenty, np. eksperyment, w którym
uczniowie zapisują długi ciąg orłów i reszek bez losowania, a
następnie zapisują ciąg orłów i reszek powstały w wyniku losowych
rzutów monetą. Błędne intuicje na temat losowości podpowiadają zwykle,
że nie powinny pojawiać się długie sekwencje orłów (albo reszek),
podczas kiedy w rzeczywistości takie długie sekwencje orłów (lub
reszek) występują.
W zakresie rozszerzonym ważne jest uświadomienie uczniom, że rachunek
prawdopodobieństwa nie ogranicza się jedynie do schematu klasycznego i
używanej tam kombinatoryki. Dobrą ilustracją są przykłady zastosowania
schematu Bernoulliego dla dużej liczby prób.
Pochodne
Posługiwanie się pojęciem granicy ilorazu różnicowego konieczne do
zrozumienia pojęcia pochodnej wymaga dużych możliwości poznawczych.
Dlatego też pochodne należy wprowadzać w pierwszej kolejności
intuicyjnie, posługując się interpretacją fizyczną (prędkość chwilowa,
natężenie prądu) oraz geometryczną (styczna, nachylenie wykresu).
Podstawowym zastosowaniem definicji pochodnej może być wyprowadzenie
wzoru na pochodną jednomianu i pochodną sumy, iloczynu i złożenia
funkcji (gdy funkcja wewnętrzna jest różnowartościowa). Uczniowie
powinni też poznać twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła na
przedziale i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału jest niemalejąca
wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna.
Dowody.
Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie
umiejętności, jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i
zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala
doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania
poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia
jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten
sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód.
Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna
również poza matematyką. Na poziomie rozszerzonym język matematyczny
powinien osiągnąć wyższy stopień sformalizowania. Uczeń powinien
poznać dowody następujących twierdzeń.
Twierdzenia, dowody – zakres podstawowy:
Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.
Dowód niewymierności liczb: $\sqrt{2}$,
$\log_2{5}$ itp.
Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego
Podstawowe własności potęg (o wykładnikach
całkowitych i wymiernych) i logarytmów.
Wzory na $n$-ty wyraz i sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i geometrycznego.
Twierdzenie o kątach w okręgu:
(a) kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym
samym łuku;
(b) jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe
wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach.
Twierdzenie o odcinkach w trójkącie
prostokątnym:
Jeśli odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta prostokątnego
$ABC$ o kącie prostym $ACB$, to $\left|AD\right|
\cdot\left|BD\right|=\left|CD\right|^2$, $\left|AC\right|^2=
\left|AB\right|\cdot\left|AD\right|$ oraz $\left|BC\right|^2=
\left|AB\right|\cdot\left|BD\right|$.
Twierdzenie o dwusiecznej:
Jeśli prosta $CD$ jest dwusieczną kąta $ACB$ w trójkącie $ABC$
i punkt $D$ leży na boku $AB$, to
$\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|BC|}$
Wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}ab \sin \gamma$
Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenia, dowody – zakres rozszerzony:
Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli $0 < 𝑘 < 𝑛$ to
$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$
Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na
$a^n-b^n$, $a^n+ b^n$ (przy odpowiednich założeniach o $n$)
oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych $a$ i $b$, $(𝑎 −
)|(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)$;
Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian
postaci $𝑥 − 𝑎$ wraz ze wzorami rekurencyjnymi na
współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) – dowód
można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla
wielomianu czwartego stopnia.
Wzory Viete'a;
Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów;
Twierdzenie sinusów;
Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych
trójkąta:
(a) symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie
i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta
przecinają się w jednym punkcie,
(b) środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie;
Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg. Czworokąt wypukły
$ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|∠𝐵𝐴𝐷| +
|∠𝐵𝐶𝐷| = |∠𝐴𝐵𝐶| + |∠𝐴𝐷𝐶| = 180°$;
Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. W czworokąt
wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy
$|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐴𝐷| + |𝐵𝐶|$;
Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny. Dane są
proste $k$, $l$ i $m$ leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli
proste $k$ i $l$ mają dokładnie jeden punkt wspólny i prosta
$n$ jest do nich prostopadła, to prosta $n$ jest także
prostopadła do prostej $m$;
Twierdzenie o trzech prostopadłych. Prosta $k$ i przecina
płaszczyznę $P$ i nie jest do niej prostopadła. Prosta $l$
jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $P$.
Prosta $m$ leży na płaszczyźnie $P$. Wówczas proste $k$ i $m$
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste $l$ i $m$ są
prostopadłe.